मार्कोव चेन के उदाहरणों के साथ परिचय - पायथन के साथ मार्कोव चेन

मार्कोव चेन का परिचय:

क्या आपने कभी सोचा है कि Google वेब पेज कैसे रैंक करता है? यदि आपने अपना शोध किया है, तो आपको पता होना चाहिए कि यह पेजरैंक एल्गोरिथम का उपयोग करता है जो मार्कोव श्रृंखला के विचार पर आधारित है। मार्कोव चेन के परिचय पर यह लेख आपको मार्कोव श्रृंखला के पीछे के मूल विचार को समझने में मदद करेगा और उन्हें वास्तविक दुनिया की समस्याओं के समाधान के रूप में कैसे तैयार किया जा सकता है।

यहां उन विषयों की सूची दी गई है, जिन्हें कवर किया जाएगा इस ब्लॉग में:

1. एक मार्कोव चेन क्या है?
2. मार्कोव संपत्ति क्या है?
3. मार्कोव चेन को समझना एक उदाहरण के साथ
4. एक संक्रमण मैट्रिक्स क्या है?
5. पाइथन में मार्कोव चेन
6. मार्कोव चेन एप्लीकेशन

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एक मार्कोव चेन क्या है?

एंड्रे मार्कोव ने पहली बार वर्ष 1906 में मार्कोव श्रृंखला की शुरुआत की। उन्होंने मार्कोव श्रृंखला को इस प्रकार समझाया:

एक यादृच्छिक प्रक्रिया जिसमें यादृच्छिक चर होते हैं, कुछ मान्यताओं और निश्चित संभाव्य नियमों के आधार पर एक राज्य से दूसरे में परिवर्तित होते हैं।

ये यादृच्छिक चर एक महत्वपूर्ण गणितीय संपत्ति के आधार पर एक से दूसरे में संक्रमण करते हैं मार्कोव संपत्ति।

यह हमें इस सवाल पर लाता है:

मार्कोव संपत्ति क्या है?

असतत समय मार्कोव संपत्ति बताती है कि अगले संभावित राज्य में संक्रमण करने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया की गणना की संभावना केवल वर्तमान स्थिति और समय पर निर्भर है और यह उन राज्यों की श्रृंखला से स्वतंत्र है जो इससे पहले हुए थे।

यह तथ्य कि एक यादृच्छिक प्रक्रिया की अगली संभावित कार्रवाई / स्थिति पूर्व राज्यों के अनुक्रम पर निर्भर नहीं करती है, मार्कोव श्रृंखला को एक मेमोरी-कम प्रक्रिया के रूप में प्रस्तुत करती है जो केवल वर्तमान स्थिति / एक चर की कार्रवाई पर निर्भर करती है।

इसे गणितीय रूप से प्राप्त करें:

यादृच्छिक प्रक्रिया होने दें, {Xm, m = 0,1,2,,}।

यह प्रक्रिया केवल एक मार्कोव श्रृंखला है, यदि

मार्कोव चेन - मार्कोव चेन का परिचय - एडुर्का

सभी m, j, i, i0, i1,, im & minus1 के लिए

राज्यों की एक परिमित संख्या के लिए, S = {0, 1, 2, r, r}, इसे परिमित मार्कोव श्रृंखला कहा जाता है।

P (Xm + 1 = j | Xm = i) यहां एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण की संक्रमण संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करता है। यहां, हम मान रहे हैं कि संक्रमण संभावनाएं समय से स्वतंत्र हैं।

जिसका अर्थ है कि P (Xm + 1 = j | Xm = i) ’m 'के मूल्य पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, हम संक्षेप में बता सकते हैं,

मार्कोव चेन फॉर्मूला - मार्कोव चेन का परिचय - एडुर्का

तो यह समीकरण दर्शाता है मार्कोव श्रृंखला।

अब आइए समझते हैं कि मार्कोव चेन वास्तव में एक उदाहरण के साथ क्या हैं।

मार्कोव चैन उदाहरण

इससे पहले कि मैं आपको एक उदाहरण दूं, परिभाषित करें कि मार्कोव मॉडल क्या है:

सॉर्ट एल्गोरिथ्म c ++

एक मार्कोव मॉडल क्या है?

मार्कोव मॉडल एक स्टोकेस्टिक मॉडल है जो यादृच्छिक चर को इस तरह से मॉडल करता है कि चर मार्कोव संपत्ति का पालन करते हैं।

अब आइए समझते हैं कि मार्कोव मॉडल एक साधारण उदाहरण के साथ कैसे काम करता है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, मार्कोव चेन का उपयोग टेक्स्ट जनरेशन और ऑटो-पूर्ण अनुप्रयोगों में किया जाता है। इस उदाहरण के लिए, हम एक उदाहरण (यादृच्छिक) वाक्य पर एक नज़र डालेंगे और देखें कि मार्कोव श्रृंखलाओं का उपयोग करके इसे कैसे मॉडल किया जा सकता है।

मार्कोव चेन उदाहरण - मार्कोव चेन का परिचय - एडुर्का

उपरोक्त वाक्य हमारा उदाहरण है, मुझे पता है कि इसका कोई मतलब नहीं है (यह नहीं है), यह एक वाक्य है जिसमें यादृच्छिक शब्द हैं, जिसमें:

1. चांबियाँ वाक्य में अनूठे शब्दों को निरूपित करें, अर्थात्, 5 कुंजी (एक, दो, जय, खुश, एडुरका)

2. टोकन शब्दों की कुल संख्या को निरूपित करें, अर्थात् 8 टोकन।

आगे बढ़ते हुए, हमें इन शब्दों की घटना की आवृत्ति को समझने की आवश्यकता है, नीचे दिए गए आरेख प्रत्येक शब्द को एक संख्या के साथ दिखाता है जो उस शब्द की आवृत्ति को दर्शाता है।

कुंजी और आवृत्ति - मार्कोव चेन का परिचय - एडुर्का

तो यहाँ बाएँ स्तंभ कुंजियों को दर्शाता है और दाएँ स्तंभ आवृत्तियों को दर्शाता है।

उपरोक्त तालिका से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कुंजी 'edureka' किसी भी अन्य कुंजी की तुलना में 4 गुना अधिक है। इस तरह की जानकारी का अनुमान लगाना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें यह अनुमान लगाने में मदद कर सकता है कि किसी विशेष समय पर क्या शब्द हो सकता है। यदि मुझे उदाहरण वाक्य में अगले शब्द के बारे में अनुमान लगाना था, तो मैं to edureka ’के साथ जाऊंगा क्योंकि इसमें घटना की संभावना सबसे अधिक है।

प्रायिकता के बारे में बोलते हुए, एक और उपाय जिससे आपको अवगत होना चाहिए भारित वितरण।

हमारे मामले में, 'edureka' का भारित वितरण 50% (4/8) है क्योंकि इसकी आवृत्ति कुल 8 टोकन में से 4 है। बाकी चाबियां (एक, दो, जय, खुश) सभी में होने की 1/8 वीं संभावना हैऔर asymp 13%) है।

अब जब हमारे पास भारित वितरण की समझ है और यह विचार है कि विशिष्ट शब्द दूसरों की तुलना में अधिक बार कैसे होते हैं, तो हम अगले भाग के साथ आगे बढ़ सकते हैं।

मार्कोव चेन को समझना - मार्कोव चेन का परिचय - एडुर्का

उपरोक्त आंकड़े में, मैंने दो अतिरिक्त शब्द जोड़े हैं जो वाक्य के शुरू और अंत को दर्शाते हैं, आप समझेंगे कि मैंने नीचे के खंड में ऐसा क्यों किया।

अब इन कुंजियों के लिए आवृति निर्दिष्ट करें:

अंतिम और अंतिम के बीच अंतर करें

अद्यतित कुंजी और आवृत्ति - मार्कोव जंजीरों का परिचय - एडुर्का

अब एक मार्कोव मॉडल बनाएं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक मार्कोव मॉडल का उपयोग किसी विशेष राज्य में यादृच्छिक चर को इस तरह से करने के लिए किया जाता है कि इन चर के भविष्य के राज्य केवल उनकी वर्तमान स्थिति पर निर्भर करते हैं न कि उनके पिछले राज्यों पर।

इसलिए मूल रूप से एक मार्कोव मॉडल में, अगले राज्य की भविष्यवाणी करने के लिए, हमें केवल वर्तमान स्थिति पर विचार करना चाहिए।

नीचे दिए गए आरेख में, आप देख सकते हैं कि हमारे वाक्य में प्रत्येक टोकन एक दूसरे को कैसे ले जाता है। इससे पता चलता है कि भविष्य की स्थिति (अगला टोकन) वर्तमान स्थिति (वर्तमान टोकन) पर आधारित है। तो यह मार्कोव मॉडल में सबसे बुनियादी नियम है।

नीचे दिए गए आरेख से पता चलता है कि टोकन के जोड़े हैं जहां जोड़ी में प्रत्येक टोकन उसी जोड़ी में एक दूसरे की ओर जाता है।

मार्कोव चेन पेयर - मार्कोव चेन का परिचय - एडुर्का

नीचे दिए गए आरेख में, मैंने एक संरचनात्मक प्रतिनिधित्व बनाया है जो प्रत्येक कुंजी को अगले संभव टोकन की एक सरणी के साथ दिखाता है जो इसके साथ जोड़ सकता है।

मार्कोव चेन पेयर की एक सरणी - मार्कोव चेन का परिचय - एडुर्का

इस उदाहरण को सारांशित करने के लिए एक परिदृश्य पर विचार करें, जहाँ आपको उपरोक्त उदाहरण में दी गई चाबियों और टोकन के सरणी का उपयोग करके एक वाक्य बनाना होगा। इस उदाहरण के माध्यम से चलने से पहले, एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि हमें दो प्रारंभिक उपायों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है:

1. प्रारंभिक संभाव्यता वितरण (यानी समय पर प्रारंभ स्थिति = 0, (key प्रारंभ ’कुंजी))

2. एक राज्य से दूसरे में कूदने की एक संक्रमण संभावना (इस मामले में, एक से दूसरे में संक्रमण की संभावना)

हमने शुरुआत में ही भारित वितरण को परिभाषित किया है, इसलिए हमारे पास संभावनाएं और प्रारंभिक स्थिति है, अब उदाहरण के साथ चलो।

• तो शुरुआती टोकन के साथ शुरू करने के लिए है [प्रारंभ]

• अगला, हमारे पास केवल एक संभावित टोकन है [अर्थात्]

• वर्तमान में, वाक्य में केवल एक शब्द है, अर्थात् has एक ’

• इस टोकन से, अगला संभावित टोकन है [edureka]

• वाक्य 'एक एडुरेका' के लिए अद्यतन किया गया है

• [Edureka] से हम निम्नलिखित टोकन में से किसी एक पर जा सकते हैं [दो, जय, खुश, अंत]

• 25% संभावना है कि ’दो’ चुना जाता है, यह संभवतः मूल वाक्य (एक एडुरेका दो एडेर्का ओएल एडुरेका हैप्पी एडुरका) बनाने में परिणाम होगा। हालाँकि, अगर 'अंत' चुना जाता है, तो प्रक्रिया रुक जाती है और हम एक नया वाक्य तैयार करेंगे, यानी, 'एक एडुरका'।

अपने आप को पीठ पर थपथपाएं क्योंकि आप केवल एक मार्कोव मॉडल बनाते हैं और इसके माध्यम से एक परीक्षण मामला चलाते हैं। उपरोक्त उदाहरण को संक्षेप में बताने के लिए, हमने मूल रूप से वर्तमान राज्य (वर्तमान शब्द) का उपयोग अगले राज्य (अगले शब्द) को निर्धारित करने के लिए किया था। और ठीक यही मार्कोव प्रक्रिया है।

यह एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसमें यादृच्छिक चर एक राज्य से दूसरे में इस तरह से संक्रमण करते हैं कि एक चर की भविष्य की स्थिति केवल वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती है।

चलिए इसे अगले चरण पर ले जाते हैं और इस उदाहरण के लिए मार्कोव मॉडल तैयार करते हैं।

राज्य संक्रमण आरेख - मार्कोव चेन का परिचय - एडुरका

उपरोक्त आकृति को राज्य संक्रमण आरेख के रूप में जाना जाता है। हम इस बारे में नीचे के खंड में अधिक बात करेंगे, अभी के लिए बस याद रखें कि यह आरेख एक राज्य से दूसरे राज्य में बदलाव और संभावना दर्शाता है।

ध्यान दें कि आकृति में प्रत्येक अंडाकार एक कुंजी का प्रतिनिधित्व करता है और तीरों को संभव कुंजी की ओर निर्देशित किया जाता है जो इसका पालन कर सकते हैं। साथ ही, बाणों पर भार भी निरूपित करता है संभाव्यता या संबंधित राज्यों को / से संक्रमण के भारित वितरण।

तो यह सब मार्कोव मॉडल कैसे काम करता है, इसके बारे में था। अब मार्कोव प्रक्रिया में कुछ महत्वपूर्ण शब्दावली को समझने की कोशिश करते हैं।

एक संक्रमण संभावना मैट्रिक्स क्या है?

उपरोक्त अनुभाग में हमने एक सरल उदाहरण के साथ मार्कोव मॉडल के काम पर चर्चा की, अब एक मार्कोव प्रक्रिया में गणितीय शब्दावली को समझते हैं।

मार्कोव प्रक्रिया में, हम एक मैट्रिक्स का उपयोग एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए करते हैं। इस मैट्रिक्स को संक्रमण या संभाव्यता मैट्रिक्स कहा जाता है। यह आमतौर पर P द्वारा दर्शाया जाता है।

संक्रमण मैट्रिक्स - मार्कोव जंजीरों का परिचय - एडुर्का

सभी मानों के लिए नोट, पीज और जीई ० और p i ’है,

संक्रमण मैट्रिक्स फॉर्मूला - मार्कोव चेन का परिचय - एडुर्का

मुझे यह समझाने की। यह मानते हुए कि हमारी वर्तमान स्थिति ‘i’ है, अगले या आगामी राज्य को संभावित राज्यों में से एक होना चाहिए। इसलिए, k के सभी मूल्यों का योग लेते हुए, हमें एक होना चाहिए।

एक राज्य संक्रमण आरेख क्या है?

मार्कोव मॉडल को स्टेट ट्रांज़िशन डायग्राम द्वारा दर्शाया जाता है। आरेख एक मार्कोव श्रृंखला में विभिन्न राज्यों के बीच संक्रमण को दर्शाता है। एक उदाहरण के साथ ट्रांस्फ़ॉर्म मैट्रिक्स और स्टेट ट्रांज़िशन मैट्रिक्स को समझने दें।

संक्रमण मैट्रिक्स उदाहरण

तीन राज्यों 1, 2 और 3 के साथ मार्कोव श्रृंखला पर विचार करें और निम्नलिखित संभावनाएं:

संक्रमण मैट्रिक्स उदाहरण - मार्कोव चेन का परिचय - एडुर्का

राज्य संक्रमण आरेख उदाहरण - मार्कोव जंजीरों का परिचय - एडुर्का

उपरोक्त आरेख मार्कोव श्रृंखला के लिए राज्य संक्रमण आरेख का प्रतिनिधित्व करता है। यहाँ, 1,2 और 3 तीन संभावित अवस्थाएँ हैं, और एक राज्य से दूसरे राज्यों की ओर संकेत करने वाले तीर संक्रमण संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। जब, पीज = 0, इसका मतलब है कि राज्य and i ’और राज्य’ j ’के बीच कोई संक्रमण नहीं है।

अब जब कि हम मार्कोव श्रृंखलाओं के पीछे के गणित और तर्क को जानें, एक सरल डेमो चलाएं और समझें कि मार्कोव श्रृंखलाओं का उपयोग कहां किया जा सकता है।

पाइथन में मार्कोव चेन

इस डेमो को चलाने के लिए, मैं पायथन का उपयोग कर रहा हूँ, इसलिए यदि आप पायथन को नहीं जानते हैं, तो आप निम्नलिखित प्रश्नों के माध्यम से जा सकते हैं:

2. स्क्रैच से पायथन 3 कैसे सीखें - एक शुरुआती गाइड

अब कोडिंग के साथ शुरुआत करते हैं!

मार्कोव चैन टेक्स्ट जेनरेटर

समस्या का विवरण: मार्कोव संपत्ति को लागू करने और एक मार्कोव मॉडल बनाने के लिए जो डोनाल्ड ट्रम्प भाषण डेटा सेट का अध्ययन करके पाठ सिमुलेशन उत्पन्न कर सकते हैं।

डेटा सेट विवरण: पाठ फ़ाइल में 2016 में डोनाल्ड ट्रम्प द्वारा दिए गए भाषणों की एक सूची है।

तर्क: डोनाल्ड ट्रम्प के भाषण को बोलने के लिए इस्तेमाल किए गए प्रत्येक शब्द और प्रत्येक शब्द के लिए उत्पन्न करने के लिए मार्कोव संपत्ति को लागू करें, अगले शब्दों का एक शब्दकोष बनाएं जो अगले उपयोग किए जाते हैं।

कैसे जावा में एक शब्दकोश बनाने के लिए

चरण 1: आवश्यक पैकेज आयात करें

आयात एनपीपी के रूप में सुन्न

चरण 2: डेटा सेट पढ़ें

ट्रम्प = ओपन ('C: //Users//NeelTemp//Desktop//demos//speeches.txt', एन्कोडिंग = 'utf8')। (पढ़ें) (# डेटा प्रिंट (ट्रम्प) SPEIT 1 ...) आप बहुत अधिक हैं। यह बहुत अच्छा है। क्या वह महान व्यक्ति नहीं है। वह एक निष्पक्ष प्रेस प्राप्त नहीं करता है वह नहीं मिलता है। यह उचित नहीं है। और मुझे आपको बताना है कि मैं यहां हूं, और यहां बहुत दृढ़ता से हूं, क्योंकि मेरे पास स्टीव किंग के लिए बहुत सम्मान है और इसी तरह सिटिजन यूनाइटेड, डेविड और हर के लिए बहुत सम्मान है, और चाय पार्टी के लिए जबरदस्त संकल्प है। साथ ही, आयोवा के लोग भी। उनमें कुछ सामान्य है। मेहनती लोग....

चरण 3: डेटा को अलग-अलग शब्दों में विभाजित करें

corpus = trump.split () # कॉर्पस प्रिंट (कॉर्पस) 'शक्तिशाली,', 'लेकिन', 'नहीं', 'शक्तिशाली', 'लाइक', 'हम'।, 'ईरान', 'है', '। वरीयता प्राप्त ',' आतंक ', ...

अगला, एक फ़ंक्शन बनाएं जो भाषणों में शब्दों के विभिन्न जोड़े उत्पन्न करता है। स्थान बचाने के लिए, हम एक जनरेटर ऑब्जेक्ट का उपयोग करेंगे।

चरण 4: कुंजी और अनुवर्ती शब्दों के लिए जोड़े बनाना

def make_pairs (corpus): i for रेंज (len (corpus) - 1): यील्ड (corpus [i], कॉर्पस [i + 1]) जोड़े = make_pairs (कॉर्पस)

अगला, शब्दों के जोड़े को संग्रहीत करने के लिए एक खाली शब्दकोश को इनिशियलाइज़ करें।

यदि जोड़ी में पहला शब्द पहले से ही शब्दकोश में एक कुंजी है, तो शब्द का अनुसरण करने वाले शब्दों की सूची में अगले संभावित शब्द को जोड़ दें। लेकिन अगर शब्द एक कुंजी नहीं है, तो शब्दकोश में एक नई प्रविष्टि बनाएं और जोड़ी में पहले शब्द के बराबर कुंजी असाइन करें।

चरण 5: शब्दकोश को लागू करना

word_dict = {} for word_1, word_2 जोड़े में: if word_1 in word_dict.keys (): word_dict [word_1] .append (word_2) और: word_dict [word_1] = [word_2]

अगला, हम बेतरतीब ढंग से कॉर्पस से एक शब्द चुनते हैं, जो मार्कोव श्रृंखला शुरू करेगा।

चरण 6: मार्कोव मॉडल का निर्माण करें

#randomly पहला शब्द पहले_शब्द = np.random.choice (corpus) को चुनें। पहले शब्द को एक पूंजीकृत शब्द के रूप में देखें, ताकि चुना हुआ शब्द पहले वाक्य के बीच से नहीं लिया जाए जबकि first_word.islower (): # श्रृंखला से प्रारंभ करें चुने गए शब्द श्रृंखला = [first_word] # उत्तेजित शब्दों की संख्या को n_words = 20 के बराबर करें

पहले शब्द के बाद, श्रृंखला के प्रत्येक शब्द को यादृच्छिक रूप से उन शब्दों की सूची से नमूना लिया जाता है, जिन्होंने ट्रम्प के लाइव भाषणों में उस विशिष्ट शब्द का अनुसरण किया है। यह नीचे दिए गए कोड स्निपेट में दिखाया गया है:

i for रेंज (n_words): chain.append (np.random.choice (word_dict [चेन [-1]]))

चरण 7: भविष्यवाणियों

अंत में, उत्तेजित पाठ को प्रदर्शित करें।

# जॉइन श्रृंखला को एक स्ट्रिंग प्रिंट के रूप में लौटाता है ('' .join (चेन)) अविश्वसनीय लोगों की संख्या। और हिलेरी क्लिंटन, हमारे लोगों और इस तरह के महान काम हैं। और हम ओबामा को हरा नहीं पाएंगे

तो यह ट्रम्प के भाषण पर विचार करके मुझे प्राप्त हुआ पाठ है। यह बहुत समझ में नहीं आता है, लेकिन यह समझने के लिए पर्याप्त है कि मार्कोव श्रृंखलाओं को स्वचालित रूप से ग्रंथों को बनाने के लिए कैसे उपयोग किया जा सकता है।

अब कुछ और अनुप्रयोगों पर नजर डालते हैं मार्कोव श्रृंखला और वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग कैसे किया जाता है।

मार्कोव चेन एप्लीकेशन

यहां मार्कोव श्रृंखलाओं की वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों की सूची दी गई है:

1. Google पेजरैंक: संपूर्ण वेब को मार्कोव मॉडल के रूप में माना जा सकता है, जहां हर वेब पेज एक स्थिति हो सकती है और इन पृष्ठों के बीच के लिंक या संदर्भों के बारे में सोचा जा सकता है, संभावनाओं के साथ संक्रमण। तो मूल रूप से, भले ही आप जिस वेब पेज पर सर्फ करना शुरू करते हैं, एक निश्चित वेब पेज पर आने का मौका, कहते हैं, एक्स एक निश्चित संभावना है।

2. टाइपिंग शब्द भविष्यवाणी: मार्कोव श्रृंखला को आगामी शब्दों की भविष्यवाणी के लिए उपयोग करने के लिए जाना जाता है। उनका उपयोग ऑटो-पूर्ति और सुझावों में भी किया जा सकता है।

3. सब्रेडिट सिमुलेशन: निश्चित रूप से आप Reddit के पार आएंगे और उनके किसी एक धागे या सब्रेडिट पर बातचीत होगी। Reddit एक सबरेडिट सिम्युलेटर का उपयोग करता है जो अपने समूहों में आयोजित सभी टिप्पणियों और चर्चाओं से युक्त डेटा की एक बड़ी मात्रा का उपभोग करता है। मार्कोव श्रृंखला का उपयोग करके, सिम्युलेटर टिप्पणियों और विषयों को बनाने के लिए शब्द-दर-शब्द संभावनाएं पैदा करता है।

4. पाठ जनरेटर: मार्कोव श्रृंखलाओं का उपयोग आमतौर पर डमी ग्रंथों को उत्पन्न करने या बड़े निबंधों को तैयार करने और भाषणों का संकलन करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग उन नाम जनरेटरों में भी किया जाता है जिन्हें आप वेब पर देखते हैं।

अब जब आप जानते हैं कि मार्कोव चेन का उपयोग करके वास्तविक दुनिया की समस्या को कैसे हल किया जाए, तो मुझे यकीन है कि आप और जानने के लिए उत्सुक हैं। यहां उन ब्लॉगों की एक सूची दी गई है जो आपको अन्य सांख्यिकीय अवधारणाओं के साथ आरंभ करने में मदद करेंगे:

इसके साथ, हम इस परिचय के अंत में मार्कोव चेन्स ब्लॉग पर आते हैं। यदि आपके पास इस विषय के बारे में कोई प्रश्न हैं, तो कृपया नीचे एक टिप्पणी छोड़ दें और हम आपके पास वापस आ जाएंगे।

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